问题:
a．设 \(u: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow S^{N-1}\) 是到球面的映射, 设 \(u \in W^{1, p}\left(\Omega, \mathbb{S}^{N-1}\right), p >1\)．证明能量
\[
I(u)=\frac{1}{p} \int_{\Omega}|\nabla u|^p
\]
极小点 \(u\) 满足
\[
-\Delta u=|\nabla u|^p u
\]
\(u\) 称为弱 \(p\)－调和映射．
b．如果 \(u \in W^{2, p}\left(\Omega, \mathbb{S}^{N-1}\right)\), \(\left.\frac{d}{d t} I\left(u^t\right)\right|_{t=0}=0\), 这里 \(u^t(x)=u(x+t \zeta(x)), \zeta \in C_0^{\infty}\left(\Omega ; \mathbb{R}^N\right)\)．证明 \(u\) 满足单调不等式
\[
\frac{1}{r^{n-p}} \int_{B_r(x)}|\nabla u|^p \leqslant \frac{1}{R^{n-p}} \int_{B_R(x)}|\nabla u|^p, \quad r< R.
\]
c．如果 \(u\) 是弱 \(p-\)调和映射, \(1< p< n\), 且区域变分为 0, 证明
\[
u \in C^\alpha\left(\Omega \backslash \Sigma ; \mathbb{S}^{N-1}\right), \quad \mathcal{H}^{n-p}(\Sigma)=0.
\]
解答: (
ID:
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